论文标题： Action functional as an early warning indicator in the space of probability measures via Schrödinger bridge

期刊：Quantitative Biology

作者：Peng Zhang, Ting Gao, Jin Guo, Jinqiao Duan

发表时间：2 Apr 2025

DOI： 10.1002/qub2.86

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随机动力系统中的临界转换与临界跃迁现象，是生态、气候、神经科学等多个领域的核心研究课题。尤其是在神经疾病领域，大脑从健康状态向病理状态的临界转变往往存在“突变点”，提前捕捉这一转变的早期信号，对疾病干预和治疗至关重要。

近日，华中科技大学高婷教授团队和大湾区大学段金桥教授团队联合在Quantitative Biology期刊发表创新性研究“Action functional as an early warning indicator in the space of probability measures via Schrödinger bridge”，提出一种基于薛定谔桥（Schrödinger bridge）的全新框架，将作用量泛函（action functional）作为概率测度空间中的早期预警信号（EWS），成功应用于阿尔茨海默病（AD）的预警预测和 Morris-Lecar 神经元模型的转换动力学分析，为复杂疾病的临界转变检测提供了新范式。

全文概要

在动态系统中，临界转换（如健康大脑向阿尔茨海默病（AD）状态转变）往往伴随突然的定性变化，且转变后难以逆转。传统早期预警方法多依赖统计分析、分叉理论、信息论、统计物理、拓扑学和图论等，但这些方法存在两大局限：1.难以处理高维真实数据（如脑影像）的复杂结构，且对 “无临界减速” 的转换信号不敏感；2.缺乏在概率测度空间中捕捉稀有事件和转换路径的有效工具，无法精准描述状态间的演化动力学。

薛定谔桥作为带熵正则化的最优传输问题，能够找到两个边际分布间的最优转换路径测度，完美解决高维数据插值和转换动力学建模的难题。本研究将其与作用泛函结合，构建了适用于概率测度空间的早期预警框架，填补了传统方法的空白。

创新预警指标：概率测度空间的作用泛函

根据 Benamou-Brenier 表示的 Wasserstein 距离作为作用泛函，作者构建了一个核心公式：

这个公式是预警指标的核心，本质是计算两个状态（如健康 / AD）的概率分布差异，能精准捕捉密度随时间变化的突然波动，比传统指标更适配高维数据和稀有事件。同时该指标与熵产生率对齐，克服了传统指标对高维数据和稀有事件的检测短板。

高效转换路径检测：不变流形间的动力学建模

本文提出了检测两个紧致不变流形间转换路径的有效方法，突破了传统作用泛函仅能分析单点间转换的局限；核心基础是 Morris-Lecar 模型方程（描述神经元动力学的核心）：

这个公式用来描述神经元膜电位（v_t）和钾离子通道状态（ω_t）的动态变化，是分析 “静息状态→振荡状态” 转换路径的基础。

在 Morris-Lecar 模型中验证显示，该方法能清晰刻画稳定平衡点与极限环、同宿轨道间的转换路径，且正向与反向 SDE 的演化密度模式一致，证明了数值解的收敛性 （图1）。

图 1：Morris-Lecar 模型相图（核心不变集可视化）A：稳定节点 + 稳定极限环，B：稳定节点 + 不稳定螺旋 + 稳定同宿轨道，直观展示模型多稳态特性，对应上述公式描述的动力学状态 。

实证验证：AD 预警与神经元模型双重突破

本文构建了薛定谔桥的核心优化公式（找到最优转换路径的关键）：

这个公式的作用是在健康状态（ρ₀）和 AD 状态（ρ₁）的分布之间，找到最可能的转换路径测度 P，解决了高维数据下转换路径难建模的问题。

作者首先利用 ADNI 数据库的脑 MRI 数据，通过 VAE 降维与 t-SNE 投影处理，首先明确了健康样本与轻度 AD 样本的核心差异，为后续转换分析奠定基础，如图 2 所示。

图 2：ADNI 数据对比与可视化。图A为健康 vs 轻度 AD 患者 MRI 样本，图B为 t-SNE 降维后的样本分布（橙色 = 健康，蓝色 = AD），直观展示数据差异。

通过框架分析，成功捕捉到健康状态向 AD 前期转变的动态过程，在第 25 步出现显著的几何结构突变，这一突变对应临界转换的突变点，为临床早期干预提供了精准时间窗口，如图 3 所示。

图3：健康→AD 状态演化密度动态图。展示从第 1 步到第 100 步的密度演化过程，第 25 步出现明显几何突变，精准对应健康向 AD 转变的关键节点。

此外，预警指标的变化与演化密度突变完全同步，且模型训练过程收敛稳定，证明核心发现并非计算误差，而是真实的临界转换信号，如图 4 所示。

图4：预警指标与模型收敛曲线。左图为作用泛函指标随时间步变化，第 25 步达峰值（与图 3 突变完全对应）；右图为损失函数收敛曲线，证明模型训练有效，结果可靠。

在两类 Morris-Lecar 模型中，框架清晰捕捉了噪声强度和终端时间对转换路径的影响，进一步验证了框架在不同动力学场景下的通用性。

结论与展望

本研究构建了基于薛定谔桥的概率测度空间早期预警框架，核心成果如下：（1）提出作用泛函预警指标，解决传统方法高维数据处理与稀有事件捕捉痛点；（2）突破单点转换局限，实现两类 Morris-Lecar 模型中不变流形间转换路径的高效检测；（3）经 ADNI 脑影像数据实证，精准定位健康→AD 前期的突变点，验证了框架通用性。

综上，该框架填补了概率测度空间临界转换预警空白，为复杂疾病检测提供了全新范式。未来的研究将聚焦以下三大方向：（1）优化低维嵌入技术，提升高维生物数据建模准确性；（2）拓展至帕金森病、癫痫等多疾病及生态、气候领域，构建跨场景预警平台；（3）开发轻量化算法，实现临床实时预警，推动理论成果转化为诊断工具。

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