论文标题：Embeddings of Graphs: Tessellate and Decussate Structures

论文链接：https://www.mdpi.com/2813-9542/1/1/1

作者信息：亚利桑那州立大学分子科学学院 Michael O’Keeffe教授和亚利桑那州立大学物理系Michael M. J. Treacy教授

期刊名：International Journal of Topology

期刊主页：https://www.mdpi.com/journal/ijt

研究背景与问题提出

在材料化学领域，当提及如金刚石图等基于周期图的结构时，人们常称其具有 “金刚石拓扑”。然而，近期研究表明，一个图可能存在多种拓扑不同的嵌入方式，这就引出了关键问题：什么是最佳（默认）的图嵌入？ 该问题的核心在于寻找能唯一描述图 “拓扑” 的规范嵌入（空间图），这对理解材料结构具有重要意义。

核心概念与术语定义

1. 图的嵌入分类

• 可镶嵌（tessellate）图：能在三维欧氏空间中平铺的图，其嵌入不包含交叉边，如金刚石结构的图。

• 交叉（decussate）图：无法平铺且存在边交叉的图，源于拉丁语 “交叉” 之意，如包含结或链的图。

2. 关键参数

• girth（围长）：边间最短距离与最长边长度的比值，衡量结构中 “边” 的粗壮程度， girth 越大，结构越易以分子形式构建。

• 传递性（transitivity）：用整数序列 [p q r s] 表示平铺中顶点、边、面、瓷砖的类型数，用于刻画对称性。

3. 环境同痕（ambient isotopy）：拓扑学概念，指通过连续形变（不撕裂或粘合）可相互转化的嵌入，不同环境同痕对应不同拓扑。

有限图的嵌入分析

1. 平面图与非平面图

• 平面图可在二维平面无交叉嵌入，如多面体的施莱格尔图（Schlegel diagram），其唯一可镶嵌嵌入被视为规范嵌入。

• 非平面图必含 K₅ 或 K_3,3 子图，如 K₅ 存在可镶嵌嵌入（四维单形的施莱格尔图），而 K₆、K₇ 嵌入必含链或结，属于交叉结构。

2. 完全图与二分图案例

• K_3,3：存在两种嵌入 —— 对称 32 的交叉嵌入（含三叶结）和对称 6¯m2 的可镶嵌嵌入（由扩展 3-θ 笼平铺）。

• K_4,4：交叉嵌入含 8 交叉环面结，可镶嵌嵌入由扩展 4-θ 笼构成，体现了 “规范嵌入” 在对称性与可镶嵌性间的权衡。

周期图的嵌入研究

1. 晶体学图的典型案例

• ana 图：存在唯一大 girth（1.0）的可镶嵌嵌入（含扩展三棱柱瓷砖），其余嵌入因链接 4 环而交叉。

• bmn 图：最大 girth 嵌入为可镶嵌结构，其他嵌入含三叶结或链接环，拓扑各异。

• mok 图：虽由互锁的蜂窝层构成，但可通过非链接环平铺，证明交叉层未必禁止可镶嵌性。

2. 自缠绕与复杂结构

• jcy 图：所有高 girth 嵌入均交叉，含链接 6 环和 8 环，无可行可镶嵌嵌入。

• fau 图：沸石结构对应的可镶嵌嵌入为典型案例，其他嵌入因环链接而交叉。

核心结论与猜想

1. 主要发现

• 可镶嵌嵌入通常对应最大 girth 结构，是 “最粗壮” 的构建方式。

• 周期图的每个平铺对应唯一环境同痕嵌入，不同平铺拓扑等价。

2. 理论猜想

• 猜想 1：若图可平铺，则每个平铺对应同一环境同痕嵌入。

• 猜想 2：周期图至多存在一种可镶嵌环境同痕，目前无反例支持多态性。

3. 研究意义

• 为材料化学中 “拓扑” 定义提供依据，建议将可镶嵌嵌入作为周期图的默认拓扑。

• 推动 “交叉化学” 发展，系统研究结、链等交叉结构的合成与性质。

未来方向

当前缺乏可靠工具探索图的同痕空间，需开发新方法识别可镶嵌性的内在属性。文章为网状化学（reticular chemistry）与交叉结构研究搭建了理论框架，对晶体工程、分子拓扑设计具有指导意义。

International Journal of Topology 期刊介绍

主编：Michel Planat , CNRS, Institut FEMTO-ST, Université de Franche-Comté, F-25044 Besançon, France

International Journal of Topology (IJT) 期刊 (ISSN 2813-9542) 是一个关于微分拓扑学、代数拓扑学、流形、几何及其相关应用的国际性的、经同行评审的开放获取期刊。期刊旨在为拓扑学各个领域的研究和发展提供一个平台，将拓扑学扩展到更广泛的应用范围，促进数学的发展。我们的目标是发表拓扑在物理、生物、工程、医学、计算机、地理等领域的最新实验和理论研究成果。