论文标题：Persistent Homology on a Lattice of Multigraphs

论文链接：https://www.mdpi.com/2813-9542/2/2/7

期刊名：International Journal of Topology

期刊主页：https://www.mdpi.com/journal/ijt

研究背景与核心问题

在拓扑数据分析（TDA）与复杂网络交叉领域中，如何刻画动态多层网络的拓扑特征一直是重要课题。西班牙瓦伦西亚大学 Joaquín Díaz Boils 在《International Journal of Topology》发表的 “Persistent Homology on a Lattice of Multigraphs” 一文，聚焦于多图（允许平行边的图）构成的格结构，通过构建多复形（multicomplex）框架，系统研究了持久同调在动态网络中的演化规律。该研究源于神经科学中 “具身认知”（embodiment）的形式化需求 —— 大脑与身体交互形成的多层网络需通过拓扑工具捕捉其结构不变量，而传统静态网络模型难以刻画其动态合并过程中的拓扑特征。

核心理论框架与创新方法

1.多图格的代数结构

♦作者定义了两种多图组合运算：

?张量积⊗：非交换运算，平行放置多层网络（如视觉、听觉等不同模态层）；

?合并运算⊙：交换运算，融合多图的顶点与边，生成更复杂的网络结构。

o通过这两种运算，构建了多图的格序（poset）结构，其中 “G⊗H⊗K ≤ G⊙H⊗K” 的序关系体现了网络从简单到复杂的演化路径，并证明该格为 “上有界分配格”，具有顶元素（全合并多图）和 k! 个极小元（不同排列的张量积多图）。

2.多复形与交互过滤

o从多图的团复形（clique complex）出发，引入多复形概念：通过赋予单纯复形顶点多重性函数 m 和粘合映射 ?，描述多图中平行边对应的 “重复单纯形”（如重复的三角形面）。

o提出交互过滤（interaction filtration）替代传统全序过滤，其以格序为基础，每个过滤层级对应多图中⊙运算的应用次数。例如，对于 k 色多图，过滤层级 j 表示⊙运算被应用 j 次，形成包含 k−j 个连通分量的复杂结构。

3.持久同调与贝蒂数计算

o扩展经典增量算法，提出适用于多复形的贝蒂数计算公式：

?β?(K_G⊙H) = max(β?(K_G), β?(K_H)) + max(n_G, n_H) − min(p_G, p_H) − cl

?β?(K_G⊙H) = max(β?(K_G), β?(K_H)) + max(n_G, n_H) − min(p_G, p_H) − cl + dup

其中 n 为闭合循环的单纯形数，p 为未闭合循环的单纯形数，cl 为新生成的团数，dup 为二维重复单纯形数。该公式通过 “包含 - 排除” 原理，量化了多图合并过程中孔洞（hole）的生成与消失。

神经科学中的具身认知模型

论文将数学结构与神经科学应用结合，提出：

?多层网络的生物解释：多图的颜色对应不同生理系统（如代谢、胆碱能、免疫系统），顶点表示神经元集群或器官，边的颜色与多重性刻画不同模态交互的强度与类型。

?动态交互的拓扑表征：通过交互过滤追踪大脑 - 身体网络合并过程中贝蒂数的变化，例如 β?（连通分量数）减少反映系统整合，β?（一维孔洞数）变化对应功能环路的形成与重塑。

研究结论与意义

1.理论贡献

o首次在多图格上构建多复形框架，拓展了持久同调的应用场景；

o交互过滤的格序结构为动态网络提供了更灵活的拓扑分析工具，突破了传统全序过滤的限制。

2.应用价值

o为神经科学中具身认知的形式化提供了数学基础，可用于分析大脑网络在感知 - 行动循环中的拓扑演化；

o多复形贝蒂数算法为多层生物网络（如脑连接组）的动态建模提供了量化工具，有望应用于神经疾病（如阿尔茨海默病）中网络拓扑异常的检测。

延伸思考

该研究揭示了拓扑工具在跨学科研究中的桥梁作用：通过将生物系统抽象为多图格，持久同调不仅能捕捉静态结构特征，更能动态追踪系统演化中的 “拓扑记忆”。未来可进一步探索高维贝蒂数在神经振荡同步化中的表征，或结合机器学习构建拓扑特征与认知功能的关联模型。

International Journal of Topology 期刊介绍

主编：Michel Planat , CNRS, Institut FEMTO-ST, Université de Franche-Comté, F-25044 Besançon, France

International Journal of Topology (IJT) 期刊 (ISSN 2813-9542) 是一个关于微分拓扑学、代数拓扑学、流形、几何及其相关应用的国际性的、经同行评审的开放获取期刊。期刊旨在为拓扑学各个领域的研究和发展提供一个平台，将拓扑学扩展到更广泛的应用范围，促进数学的发展。我们的目标是发表拓扑在物理、生物、工程、医学、计算机、地理等领域的最新实验和理论研究成果。

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