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张益唐破译孪生素数猜想：无名之辈的逆袭 |
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两项证明激荡数论研究 |
张益唐在孪生素数上取得的突破让学术界感到震惊。
图片来源： LISA NUGENT, UNH PHOTOGRAPHIC SERVICES
如此重要的成就来自于一位之前在数论领域并不出名的处于职业中期的数学家，这几乎是前所未闻的。
■本报见习记者 张冬冬
几天前，数论学家宣布，该领域中两个最古老的未解难题取得突破。尽管这两个难题都还没有得到彻底解决，但这些突破却是几十年来最引人注目的进展，它们立即成为各大数学“聊天室”中的谈资，并为全世界的研讨会提供了最新鲜的素材。
双喜临门
这些进展都与素数有关。素数是指只可被1和其本身整除的数字。素数是数论中的积木，就如同元素在化学中的地位。其中一个难题是“孪生素数猜想”。该猜想推测，孪生素数——二者之差仅为2的相邻素数，如3和5、1091和1093——随着数字越来越大，会持续出现并存在无限多对。另一个难题是哥德巴赫猜想，其有两个推论：比2大的每个偶数都是两个素数的和；比5大的每个奇数都是3个素数的和。数学家认为这两个猜想几乎可以肯定是正确的，然而在超过1个半世纪的不断尝试中，没有人接近证实其中任何一个猜想。
5月13日，35岁的秘鲁籍数学家Harald Helfgott在巴黎高等师范学院发布了证明哥德巴赫猜想的三元（3个素数）推论的预印本。同一天，在哈佛大学的一次演讲中，新罕布什尔大学的华人数学家张益唐简要叙述其证明了存在无穷多对相差小于7000万的素数。这些素数可能不是孪生素数，但至少它们是7000万分之一的表亲。
“这是解析数论历史上最伟大的成果之一。”加拿大蒙特利尔大学的Andrew Granville如此评价张益唐的工作，“这是非凡的。我从没想过这会发生在我的有生之年。”
披沙拣金
张益唐和Helfgott都是通过长期研究才完成了自己的证明。张益唐将数轴中的素数当做河流中的金块，像淘金一样利用数学等价将这样的数字从漫长的洗矿槽中筛选出来。之后，张益唐利用其新的“素数检测机器”证明，在7000万单位长的“洗矿槽”中足以盛下无穷多个远亲素数对。
加拿大多伦多大学的数论学家John Friedlander称，7000万这个数字并不特殊，在将来的证明中一定会缩小。“重要的是，它是一个定值。”Friedlander称，“4000万可能会让人更加兴奋，而1.4亿可能会令人略感沮丧。”
张益唐于4月17日将其论文提交给《数学年报》。5月9日，在两位推荐人对论文进行了热情洋溢的评价后，该杂志编辑Nicholas Katz询问张益唐是否可以就其进行公众演讲。哈佛大学邀请他在5月13日的1小时研讨会上对其证明作简要介绍，之后更多的演讲邀请纷至沓来。Granville表示，如此重要的成就来自于一位之前在数论领域并不出名的处于职业中期的数学家，这几乎是前所未闻的。“这是一份表述清晰、令人震惊且技术精湛的作品。”
神奇圆法
和张益唐不同，Helfgott给其他数学家足够的暗示，称他接近于证明三元哥德巴赫猜想。“这个难题已经体无完肤，即将被攻克。”他去年在一个流行的数学博客上如是说。
Helfgott使用了数论学家熟悉的一种方法——哈迪-利特伍德-维诺格拉多夫圆法。其主要工具是傅立叶分析，与物理和工程上将一个周期信号分解成个别频率的光谱所使用的方法相同。
在圆法中，数学家创建了一个周期函数，其范围包括所有素数。1923年，G. H. Hardy和John Littlewood证明，假设广义黎曼猜想成立，三元哥德巴赫猜想对充分大的奇数是正确的。1937年，Ivan Vinogradov更进一步，在无须广义黎曼猜想的情形下，直接证明了充分大的奇数可以表示为3个素数之和，其他数学家猜测“充分大”的下限是101300。在Hardy和Littlewood的基础上，Helfgott将傅立叶系数的计算分成两部分，分别是“优弧”和“劣弧”。优弧像是瑞士奶酪上的孔，而劣弧则是剩余的部分。不过Helfgott的计算更像是干酪：他研究中的孔比Vinogradov的要小得多。Helfgott将“充分大”的下限降到了1030；他的同事David Platt验证所有该数字以下的奇数都符合该猜想，这一验证过程需要计算机运行4万小时才能完成。
Granville称，不幸的是，由于技术原因，Helfgott的方法要想证明哥德巴赫猜想的第一个推论——即两个素数推论，被称为“强哥德巴赫猜想”——是“零可能”的。而对于张益唐的新原理可能会为孪生素数猜想提供线索，Granville较为乐观。
然而，在两个难题的进展都遭遇几代的冰川期后，英国牛津大学的Roger Heath-Brown对于看到春天融冰迹象感到高兴。“尽管已有几百年的历史，但数论仍在发展中。”Heath-Brown称，“这是这两个定理让我最感到兴奋的地方。”（原标题《“无名之辈”的逆袭》）
《中国科学报》 (2013-05-27 第3版 国际)
